解決{l}{4x-y=8}{x-2y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 8 } \\ { x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=8,x-2y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=8$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+8。

$$x=\frac{1}{4}y+2$$

在另一個方程式 x-2y=1 中以 \frac{y}{4}+2 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{4}y+2-2y=1$$

將 \frac{y}{4} 加到 -2y。

$$-\frac{7}{4}y+2=1$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-\frac{7}{4}y=-1$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{4}{7}$$

在 x=\frac{1}{4}y+2 中以 \frac{4}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{4}{7}+2$$

\frac{1}{4} 乘上 \frac{4}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1}{7}+2$$

將 2 加到 \frac{1}{7}。

$$x=\frac{15}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{4}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=8,x-2y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{4\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{4\left(-2\right)-\left(-1\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 8-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\times 8-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{4}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=8,x-2y=1$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x-y=8,4x+4\left(-2\right)y=4$$

化簡。

$$4x-y=8,4x-8y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-y=8 減去 4x-8y=4。

$$4x-4x-y+8y=8-4$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+8y=8-4$$

將 -y 加到 8y。

$$7y=8-4$$

將 8 加到 -4。

$$7y=4$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=\frac{4}{7}$$

在 x-2y=1 中以 \frac{4}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2\times \frac{4}{7}=1$$

-2 乘上 \frac{4}{7}。

$$x-\frac{8}{7}=1$$

將 \frac{8}{7} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{15}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{4}{7}$$