解決{l}{4x-4y=-4}{-9x-4y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 4 y = - 4 } \\ { - 9 x - 4 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-4y=-4,-9x-4y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-4y=-4$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$4x=4y-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(4y-4\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -4+4y。

$$x=y-1$$

在另一個方程式 -9x-4y=-3 中以 y-1 代入 x在方程式。

$$-9\left(y-1\right)-4y=-3$$

-9 乘上 y-1。

$$-9y+9-4y=-3$$

將 -9y 加到 -4y。

$$-13y+9=-3$$

從方程式兩邊減去 9。

$$-13y=-12$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=\frac{12}{13}$$

在 x=y-1 中以 \frac{12}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{12}{13}-1$$

將 -1 加到 \frac{12}{13}。

$$x=-\frac{1}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{12}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-4y=-4,-9x-4y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}&-\frac{-4}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{9}{52}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-4\right)-\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{9}{52}\left(-4\right)-\frac{1}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{12}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-4y=-4,-9x-4y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-4y=-4 減去 -9x-4y=-3。

$$4x+9x-4y+4y=-4+3$$

將 -4y 加到 4y。 -4y 和 4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x+9x=-4+3$$

將 4x 加到 9x。

$$13x=-4+3$$

將 -4 加到 3。

$$13x=-1$$

將兩邊同時除以 13。

$$x=-\frac{1}{13}$$

在 -9x-4y=-3 中以 -\frac{1}{13} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-9\left(-\frac{1}{13}\right)-4y=-3$$

-9 乘上 -\frac{1}{13}。

$$\frac{9}{13}-4y=-3$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{13}。

$$-4y=-\frac{48}{13}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=\frac{12}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{12}{13}$$