解決{l}{4x-3y=5}{8x+6y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 8 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-3y=5$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$4x=3y+5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 3y+5。

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 8x+6y=10 中以 \frac{3y+5}{4} 代入 x在方程式。

$$8\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=10$$

8 乘上 \frac{3y+5}{4}。

$$6y+10+6y=10$$

將 6y 加到 6y。

$$12y+10=10$$

從方程式兩邊減去 10。

$$12y=0$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=0$$

在 x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

讓 4x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$8\times 4x+8\left(-3\right)y=8\times 5,4\times 8x+4\times 6y=4\times 10$$

化簡。

$$32x-24y=40,32x+24y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x-24y=40 減去 32x+24y=40。

$$32x-32x-24y-24y=40-40$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-24y-24y=40-40$$

將 -24y 加到 -24y。

$$-48y=40-40$$

將 40 加到 -40。

$$-48y=0$$

將兩邊同時除以 -48。

$$y=0$$

在 8x+6y=10 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x=10$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{5}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{4},y=0$$