解決{l}{4x=9-3y}{5y=12-5x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$4x+3y=9$$

考慮第二個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$5y+5x=12$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+3y=9$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$4x=-3y+9$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -3y+9。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

在另一個方程式 5x+5y=12 中以 \frac{-3y+9}{4} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

5 乘上 \frac{-3y+9}{4}。

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

將 -\frac{15y}{4} 加到 5y。

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{45}{4}。

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{3}{5}$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4} 中以 \frac{3}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

-\frac{3}{4} 乘上 \frac{3}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

將 \frac{9}{4} 與 -\frac{9}{20} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{9}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$4x+3y=9$$

考慮第二個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$5y+5x=12$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$4x+3y=9$$

考慮第二個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$5y+5x=12$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

讓 4x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

化簡。

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+15y=45 減去 20x+20y=48。

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y-20y=45-48$$

將 15y 加到 -20y。

$$-5y=45-48$$

將 45 加到 -48。

$$-5y=-3$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=\frac{3}{5}$$

在 5x+5y=12 中以 \frac{3}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

5 乘上 \frac{3}{5}。

$$5x+3=12$$

從方程式兩邊減去 3。

$$5x=9$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{9}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$