解決{l}{4x+y=15}{-x+3y=-7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { - x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=15,-x+3y=-7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=15$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+15$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+15。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

在另一個方程式 -x+3y=-7 中以 \frac{-y+15}{4} 代入 x在方程式。

$$-\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+3y=-7$$

-1 乘上 \frac{-y+15}{4}。

$$\frac{1}{4}y-\frac{15}{4}+3y=-7$$

將 \frac{y}{4} 加到 3y。

$$\frac{13}{4}y-\frac{15}{4}=-7$$

將 \frac{15}{4} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{13}{4}y=-\frac{13}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 -1。

$$x=\frac{1+15}{4}$$

將 \frac{15}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=15,-x+3y=-7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{1}{4\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 3-\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 15-\frac{1}{13}\left(-7\right)\\\frac{1}{13}\times 15+\frac{4}{13}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=15,-x+3y=-7$$

讓 4x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-4x-y=-15,4\left(-1\right)x+4\times 3y=4\left(-7\right)$$

化簡。

$$-4x-y=-15,-4x+12y=-28$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-y=-15 減去 -4x+12y=-28。

$$-4x+4x-y-12y=-15+28$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-12y=-15+28$$

將 -y 加到 -12y。

$$-13y=-15+28$$

將 -15 加到 28。

$$-13y=13$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=-1$$

在 -x+3y=-7 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+3\left(-1\right)=-7$$

3 乘上 -1。

$$-x-3=-7$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-x=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-1$$