解決{l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=-7$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y-7$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y-7。

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

在另一個方程式 2x+6y=-11 中以 \frac{-y-7}{4} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

2 乘上 \frac{-y-7}{4}。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

將 -\frac{y}{2} 加到 6y。

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

將 \frac{7}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{15}{11}$$

在 x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4} 中以 -\frac{15}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 -\frac{15}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

將 -\frac{7}{4} 與 \frac{15}{44} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{31}{22}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

化簡。

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+2y=-14 減去 8x+24y=-44。

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-24y=-14+44$$

將 2y 加到 -24y。

$$-22y=-14+44$$

將 -14 加到 44。

$$-22y=30$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=-\frac{15}{11}$$

在 2x+6y=-11 中以 -\frac{15}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

6 乘上 -\frac{15}{11}。

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

將 \frac{90}{11} 加到方程式的兩邊。

$$2x=-\frac{31}{11}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-\frac{31}{22}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$