解決{l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 7y 至兩側。

$$5x-17+7y=0$$

新增 17 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$5x+7y=17$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+5y=-12$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$4x=-5y-12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -5y-12。

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

在另一個方程式 5x+7y=17 中以 -\frac{5y}{4}-3 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

5 乘上 -\frac{5y}{4}-3。

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

將 -\frac{25y}{4} 加到 7y。

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$\frac{3}{4}y=32$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{128}{3}$$

在 x=-\frac{5}{4}y-3 中以 \frac{128}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

-\frac{5}{4} 乘上 \frac{128}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

將 -3 加到 -\frac{160}{3}。

$$x=-\frac{169}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 7y 至兩側。

$$5x-17+7y=0$$

新增 17 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$5x+7y=17$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 7y 至兩側。

$$5x-17+7y=0$$

新增 17 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$5x+7y=17$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

讓 4x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

化簡。

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+25y=-60 減去 20x+28y=68。

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y-28y=-60-68$$

將 25y 加到 -28y。

$$-3y=-60-68$$

將 -60 加到 -68。

$$-3y=-128$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{128}{3}$$

在 5x+7y=17 中以 \frac{128}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

7 乘上 \frac{128}{3}。

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

從方程式兩邊減去 \frac{896}{3}。

$$5x=-\frac{845}{3}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-\frac{169}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$