解決{l}{3x+y=1}{4x+4y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+1。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 4x+4y=3 中以 \frac{-y+1}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

4 乘上 \frac{-y+1}{3}。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

將 -\frac{4y}{3} 加到 4y。

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{5}{8}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} 中以 \frac{5}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{5}{8} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

將 \frac{1}{3} 與 -\frac{5}{24} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

化簡。

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+4y=4 減去 12x+12y=9。

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-12y=4-9$$

將 4y 加到 -12y。

$$-8y=4-9$$

將 4 加到 -9。

$$-8y=-5$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=\frac{5}{8}$$

在 4x+4y=3 中以 \frac{5}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

4 乘上 \frac{5}{8}。

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$4x=\frac{1}{2}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$