解決{l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 22x 至兩側。

$$-5x+2y+22x=0$$

合併 -5x 和 22x 以取得 17x。

$$17x+2y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=-24$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y-24$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y-24。

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

在另一個方程式 17x+2y=0 中以 -\frac{5y}{3}-8 代入 x在方程式。

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

17 乘上 -\frac{5y}{3}-8。

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

將 -\frac{85y}{3} 加到 2y。

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

將 136 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{79}{3}y=136$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{79}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{408}{79}$$

在 x=-\frac{5}{3}y-8 中以 -\frac{408}{79} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

-\frac{5}{3} 乘上 -\frac{408}{79} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{680}{79}-8$$

將 -8 加到 \frac{680}{79}。

$$x=\frac{48}{79}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 22x 至兩側。

$$-5x+2y+22x=0$$

合併 -5x 和 22x 以取得 17x。

$$17x+2y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 22x 至兩側。

$$-5x+2y+22x=0$$

合併 -5x 和 22x 以取得 17x。

$$17x+2y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

讓 3x 和 17x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 17，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

化簡。

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 51x+85y=-408 減去 51x+6y=0。

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

將 51x 加到 -51x。 51x 和 -51x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$85y-6y=-408$$

將 85y 加到 -6y。

$$79y=-408$$

將兩邊同時除以 79。

$$y=-\frac{408}{79}$$

在 17x+2y=0 中以 -\frac{408}{79} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

2 乘上 -\frac{408}{79}。

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

將 \frac{816}{79} 加到方程式的兩邊。

$$17x=\frac{816}{79}$$

將兩邊同時除以 17。

$$x=\frac{48}{79}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$