解決{l}{3x+4y=253}{y=5x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=11$$

$$y=55$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=253$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y+253$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y+253。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

在另一個方程式 -5x+y=0 中以 \frac{-4y+253}{3} 代入 x在方程式。

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

-5 乘上 \frac{-4y+253}{3}。

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

將 \frac{20y}{3} 加到 y。

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

將 \frac{1265}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{23}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=55$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3} 中以 55 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 55。

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

將 \frac{253}{3} 與 -\frac{220}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=11$$

現已成功解出系統。

$$x=11,y=55$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=11,y=55$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

讓 3x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

化簡。

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -15x-20y=-1265 減去 -15x+3y=0。

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

將 -15x 加到 15x。 -15x 和 15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-20y-3y=-1265$$

將 -20y 加到 -3y。

$$-23y=-1265$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=55$$

在 -5x+y=0 中以 55 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+55=0$$

從方程式兩邊減去 55。

$$-5x=-55$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=11$$

現已成功解出系統。

$$x=11,y=55$$