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解 x、y
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3x+2y=13,2x-y=4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+2y=13
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-2y+13
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{3}\left(-2y+13\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}
\frac{1}{3} 乘上 -2y+13。
2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}\right)-y=4
在另一個方程式 2x-y=4 中以 \frac{-2y+13}{3} 代入 x在方程式。
-\frac{4}{3}y+\frac{26}{3}-y=4
2 乘上 \frac{-2y+13}{3}。
-\frac{7}{3}y+\frac{26}{3}=4
將 -\frac{4y}{3} 加到 -y。
-\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{26}{3}。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{3},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{13}{3}
在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{-4+13}{3}
-\frac{2}{3} 乘上 2。
x=3
將 \frac{13}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
3x+2y=13,2x-y=4
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 13+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{2}{7}\times 13-\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+2y=13,2x-y=4
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 3x+2\times 2y=2\times 13,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4
讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
6x+4y=26,6x-3y=12
化簡。
6x-6x+4y+3y=26-12
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 6x+4y=26 減去 6x-3y=12。
4y+3y=26-12
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
7y=26-12
將 4y 加到 3y。
7y=14
將 26 加到 -12。
y=2
將兩邊同時除以 7。
2x-2=4
在 2x-y=4 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
2x=6
將 2 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 2。
x=3,y=2
現已成功解出系統。