解決{l}{3*a+c=5}{a-c=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

解 a、c

$$a=3$$

$$c=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3a+c=5,a-c=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$3a+c=5$$

從方程式兩邊減去 c。

$$3a=-c+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -c+5。

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 a-c=7 中以 \frac{-c+5}{3} 代入 a在方程式。

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

將 -\frac{c}{3} 加到 -c。

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{3}。

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$c=-4$$

在 a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3} 中以 -4 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 -4。

$$a=\frac{4+5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,c=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3a+c=5,a-c=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 c。

$$a=3,c=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3a+c=5,a-c=7$$

讓 3a 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

化簡。

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3a+c=5 減去 3a-3c=21。

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

將 3a 加到 -3a。 3a 和 -3a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$c+3c=5-21$$

將 c 加到 3c。

$$4c=5-21$$

將 5 加到 -21。

$$4c=-16$$

將兩邊同時除以 4。

$$c=-4$$

在 a-c=7 中以 -4 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-\left(-4\right)=7$$

從方程式兩邊減去 4。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,c=-4$$