解決{l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$25x+16y=72$$

從方程式兩邊減去 16y。

$$25x=-16y+72$$

將兩邊同時除以 25。

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

\frac{1}{25} 乘上 -16y+72。

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

在另一個方程式 -5x+4y=0 中以 \frac{-16y+72}{25} 代入 x在方程式。

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

-5 乘上 \frac{-16y+72}{25}。

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

將 \frac{16y}{5} 加到 4y。

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

將 \frac{72}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{36}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

-\frac{16}{25} 乘上 2。

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

將 \frac{72}{25} 與 -\frac{32}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

讓 25x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 25。

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

化簡。

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -125x-80y=-360 減去 -125x+100y=0。

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

將 -125x 加到 125x。 -125x 和 125x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-80y-100y=-360$$

將 -80y 加到 -100y。

$$-180y=-360$$

將兩邊同時除以 -180。

$$y=2$$

在 -5x+4y=0 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+4\times 2=0$$

4 乘上 2。

$$-5x+8=0$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-5x=-8$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{5},y=2$$