解決{l}{20a+3b=41}{15a+7b=45} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$20a+3b=41$$

從方程式兩邊減去 3b。

$$20a=-3b+41$$

將兩邊同時除以 20。

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

\frac{1}{20} 乘上 -3b+41。

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

在另一個方程式 15a+7b=45 中以 \frac{-3b+41}{20} 代入 a在方程式。

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

15 乘上 \frac{-3b+41}{20}。

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

將 -\frac{9b}{4} 加到 7b。

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

從方程式兩邊減去 \frac{123}{4}。

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=3$$

在 a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20} 中以 3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

-\frac{3}{20} 乘上 3。

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

將 \frac{41}{20} 與 -\frac{9}{20} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

讓 20a 和 15a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 15，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 20。

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

化簡。

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 300a+45b=615 減去 300a+140b=900。

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

將 300a 加到 -300a。 300a 和 -300a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$45b-140b=615-900$$

將 45b 加到 -140b。

$$-95b=615-900$$

將 615 加到 -900。

$$-95b=-285$$

將兩邊同時除以 -95。

$$b=3$$

在 15a+7b=45 中以 3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$15a+7\times 3=45$$

7 乘上 3。

$$15a+21=45$$

從方程式兩邊減去 21。

$$15a=24$$

將兩邊同時除以 15。

$$a=\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{8}{5},b=3$$