解決{l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-4} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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2x-5y=-21,3x+2y=-4

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x-5y=-21

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=5y-21

將 5y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)

將兩邊同時除以 2。

x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}

\frac{1}{2} 乘上 5y-21。

3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-4

在另一個方程式 3x+2y=-4 中以 \frac{5y-21}{2} 代入 x在方程式。

\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-4

3 乘上 \frac{5y-21}{2}。

\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-4

將 \frac{15y}{2} 加到 2y。

\frac{19}{2}y=\frac{55}{2}

將 \frac{63}{2} 加到方程式的兩邊。

y=\frac{55}{19}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{5}{2}\times \frac{55}{19}-\frac{21}{2}

在 x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2} 中以 \frac{55}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{275}{38}-\frac{21}{2}

\frac{5}{2} 乘上 \frac{55}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=-\frac{62}{19}

將 -\frac{21}{2} 與 \frac{275}{38} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}

現已成功解出系統。

2x-5y=-21,3x+2y=-4

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{19}\\\frac{55}{19}\end{matrix}\right)

計算。

x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}

解出矩陣元素 x 和 y。

2x-5y=-21,3x+2y=-4

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-4\right)

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

6x-15y=-63,6x+4y=-8

化簡。

6x-6x-15y-4y=-63+8