解決{l}{2x+y-17=0}{17x-11y-8=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 17 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y-17=0$$

將 17 加到方程式的兩邊。

$$2x+y=17$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+17$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+17。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

在另一個方程式 17x-11y-8=0 中以 \frac{-y+17}{2} 代入 x在方程式。

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-11y-8=0$$

17 乘上 \frac{-y+17}{2}。

$$-\frac{17}{2}y+\frac{289}{2}-11y-8=0$$

將 -\frac{17y}{2} 加到 -11y。

$$-\frac{39}{2}y+\frac{289}{2}-8=0$$

將 \frac{289}{2} 加到 -8。

$$-\frac{39}{2}y+\frac{273}{2}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{273}{2}。

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{273}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{39}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=7$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{17}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 7。

$$x=\frac{-7+17}{2}$$

將 \frac{17}{2} 與 -\frac{7}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 17+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 17-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

讓 2x 和 17x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 17，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$17\times 2x+17y+17\left(-17\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

化簡。

$$34x+17y-289=0,34x-22y-16=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 34x+17y-289=0 減去 34x-22y-16=0。

$$34x-34x+17y+22y-289+16=0$$

將 34x 加到 -34x。 34x 和 -34x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$17y+22y-289+16=0$$

將 17y 加到 22y。

$$39y-289+16=0$$

將 -289 加到 16。

$$39y-273=0$$

將 273 加到方程式的兩邊。

$$39y=273$$

將兩邊同時除以 39。

$$y=7$$

在 17x-11y-8=0 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$17x-11\times 7-8=0$$

-11 乘上 7。

$$17x-77-8=0$$

將 -77 加到 -8。

$$17x-85=0$$

將 85 加到方程式的兩邊。

$$17x=85$$

將兩邊同時除以 17。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=7$$