解決{l}{2x+y=6}{6x-y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=6,6x-y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=6$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+6。

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

在另一個方程式 6x-y=2 中以 -\frac{y}{2}+3 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

6 乘上 -\frac{y}{2}+3。

$$-3y+18-y=2$$

將 -3y 加到 -y。

$$-4y+18=2$$

從方程式兩邊減去 18。

$$-4y=-16$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=4$$

在 x=-\frac{1}{2}y+3 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

-\frac{1}{2} 乘上 4。

$$x=-2+3$$

將 3 加到 -2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=6,6x-y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=6,6x-y=2$$

讓 2x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

化簡。

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+6y=36 減去 12x-2y=4。

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+2y=36-4$$

將 6y 加到 2y。

$$8y=36-4$$

將 36 加到 -4。

$$8y=32$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=4$$

在 6x-y=2 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-4=2$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$6x=6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$