解決{l}{2x+5y=7}{-3x+y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+5y=7$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$2x=-5y+7$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -5y+7。

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 -3x+y=15 中以 \frac{-5y+7}{2} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

-3 乘上 \frac{-5y+7}{2}。

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

將 \frac{15y}{2} 加到 y。

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

將 \frac{21}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

-\frac{5}{2} 乘上 3。

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

將 \frac{7}{2} 與 -\frac{15}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

讓 2x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

化簡。

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6x-15y=-21 減去 -6x+2y=30。

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y-2y=-21-30$$

將 -15y 加到 -2y。

$$-17y=-21-30$$

將 -21 加到 -30。

$$-17y=-51$$

將兩邊同時除以 -17。

$$y=3$$

在 -3x+y=15 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+3=15$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-3x=12$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=3$$