解決{l}{2x+5y=16}{3x-7y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 16 } \\ { 3 x - 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=8$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+5y=16$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$2x=-5y+16$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+16\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -5y+16。

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

在另一個方程式 3x-7y=24 中以 -\frac{5y}{2}+8 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-7y=24$$

3 乘上 -\frac{5y}{2}+8。

$$-\frac{15}{2}y+24-7y=24$$

將 -\frac{15y}{2} 加到 -7y。

$$-\frac{29}{2}y+24=24$$

從方程式兩邊減去 24。

$$-\frac{29}{2}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{5}{2}y+8 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 16+\frac{5}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 16-\frac{2}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 16,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 24$$

化簡。

$$6x+15y=48,6x-14y=48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+15y=48 減去 6x-14y=48。

$$6x-6x+15y+14y=48-48$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y+14y=48-48$$

將 15y 加到 14y。

$$29y=48-48$$

將 48 加到 -48。

$$29y=0$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=0$$

在 3x-7y=24 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x=24$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=0$$