解決{l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+4y=362$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$2x=-4y+362$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4y+362。

$$x=-2y+181$$

在另一個方程式 3x+2y=153.5 中以 -2y+181 代入 x在方程式。

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

3 乘上 -2y+181。

$$-6y+543+2y=153.5$$

將 -6y 加到 2y。

$$-4y+543=153.5$$

從方程式兩邊減去 543。

$$-4y=-389.5$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=97.375$$

在 x=-2y+181 中以 97.375 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times 97.375+181$$

-2 乘上 97.375。

$$x=-194.75+181$$

將 181 加到 -194.75。

$$x=-13.75$$

現已成功解出系統。

$$x=-13.75,y=97.375$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

化簡。

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+12y=1086 減去 6x+4y=307。

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y-4y=1086-307$$

將 12y 加到 -4y。

$$8y=1086-307$$

將 1086 加到 -307。

$$8y=779$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=\frac{779}{8}$$

在 3x+2y=153.5 中以 \frac{779}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

2 乘上 \frac{779}{8}。

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

從方程式兩邊減去 \frac{779}{4}。

$$3x=-\frac{165}{4}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{55}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$