解決{l}{2a+6d=0}{a+4d=21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 6 d = 0 } \\ { a + 4 d = 21 } \end{array} \right.$$

解 a、d

$$a=-63$$

$$d=21$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a+6d=0$$

從方程式兩邊減去 6d。

$$2a=-6d$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\left(-6\right)d$$

\frac{1}{2} 乘上 -6d。

$$a=-3d$$

在另一個方程式 a+4d=21 中以 -3d 代入 a在方程式。

$$-3d+4d=21$$

將 -3d 加到 4d。

$$d=21$$

在 a=-3d 中以 21 代入 d。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-3\times 21$$

-3 乘上 21。

$$a=-63$$

現已成功解出系統。

$$a=-63,d=21$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-6}&-\frac{6}{2\times 4-6}\\-\frac{1}{2\times 4-6}&\frac{2}{2\times 4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 21\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\21\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 d。

$$a=-63,d=21$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

讓 2a 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2a+6d=0,2a+2\times 4d=2\times 21$$

化簡。

$$2a+6d=0,2a+8d=42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a+6d=0 減去 2a+8d=42。

$$2a-2a+6d-8d=-42$$

將 2a 加到 -2a。 2a 和 -2a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6d-8d=-42$$

將 6d 加到 -8d。

$$-2d=-42$$

將兩邊同時除以 -2。

$$d=21$$

在 a+4d=21 中以 21 代入 d。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a+4\times 21=21$$

4 乘上 21。

$$a+84=21$$

從方程式兩邊減去 84。

$$a=-63$$

現已成功解出系統。

$$a=-63,d=21$$