解決{l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$18x-14y=-5$$

將 14y 加到方程式的兩邊。

$$18x=14y-5$$

將兩邊同時除以 18。

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

\frac{1}{18} 乘上 14y-5。

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

在另一個方程式 18x+2y=-20 中以 \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} 代入 x在方程式。

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

18 乘上 \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}。

$$14y-5+2y=-20$$

將 14y 加到 2y。

$$16y-5=-20$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$16y=-15$$

將兩邊同時除以 16。

$$y=-\frac{15}{16}$$

在 x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18} 中以 -\frac{15}{16} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

\frac{7}{9} 乘上 -\frac{15}{16} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

將 -\frac{5}{18} 與 -\frac{35}{48} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{145}{144}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x-14y=-5 減去 18x+2y=-20。

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14y-2y=-5+20$$

將 -14y 加到 -2y。

$$-16y=-5+20$$

將 -5 加到 20。

$$-16y=15$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=-\frac{15}{16}$$

在 18x+2y=-20 中以 -\frac{15}{16} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

2 乘上 -\frac{15}{16}。

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

將 \frac{15}{8} 加到方程式的兩邊。

$$18x=-\frac{145}{8}$$

將兩邊同時除以 18。

$$x=-\frac{145}{144}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$