解決{l}{12x-5y=40}{12x-11y=88} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$12x-5y=40$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$12x=5y+40$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

\frac{1}{12} 乘上 40+5y。

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 12x-11y=88 中以 \frac{10}{3}+\frac{5y}{12} 代入 x在方程式。

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

12 乘上 \frac{10}{3}+\frac{5y}{12}。

$$5y+40-11y=88$$

將 5y 加到 -11y。

$$-6y+40=88$$

從方程式兩邊減去 40。

$$-6y=48$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=-8$$

在 x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3} 中以 -8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

\frac{5}{12} 乘上 -8。

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

將 \frac{10}{3} 與 -\frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-5y=40 減去 12x-11y=88。

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+11y=40-88$$

將 -5y 加到 11y。

$$6y=40-88$$

將 40 加到 -88。

$$6y=-48$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-8$$

在 12x-11y=88 中以 -8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

-11 乘上 -8。

$$12x+88=88$$

從方程式兩邊減去 88。

$$12x=0$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-8$$