解決{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-28$$

$$y=63$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$11x+5y=7$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$11x=-5y+7$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{11} 乘上 -5y+7。

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

在另一個方程式 6x+3y=21 中以 \frac{-5y+7}{11} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

6 乘上 \frac{-5y+7}{11}。

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

將 -\frac{30y}{11} 加到 3y。

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

從方程式兩邊減去 \frac{42}{11}。

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{11}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=63$$

在 x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} 中以 63 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

-\frac{5}{11} 乘上 63。

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

將 \frac{7}{11} 與 -\frac{315}{11} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-28$$

現已成功解出系統。

$$x=-28,y=63$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-28,y=63$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

讓 11x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 11。

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

化簡。

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 66x+30y=42 減去 66x+33y=231。

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

將 66x 加到 -66x。 66x 和 -66x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y-33y=42-231$$

將 30y 加到 -33y。

$$-3y=42-231$$

將 42 加到 -231。

$$-3y=-189$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=63$$

在 6x+3y=21 中以 63 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+3\times 63=21$$

3 乘上 63。

$$6x+189=21$$

從方程式兩邊減去 189。

$$6x=-168$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-28$$

現已成功解出系統。

$$x=-28,y=63$$