解決{l}{11x+3y=14}{x+7y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 14 } \\ { x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$11x+3y=14$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$11x=-3y+14$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+14\right)$$

\frac{1}{11} 乘上 -3y+14。

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}$$

在另一個方程式 x+7y=8 中以 \frac{-3y+14}{11} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}+7y=8$$

將 -\frac{3y}{11} 加到 7y。

$$\frac{74}{11}y+\frac{14}{11}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{14}{11}。

$$\frac{74}{11}y=\frac{74}{11}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{74}{11}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-3+14}{11}$$

將 \frac{14}{11} 與 -\frac{3}{11} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 14-\frac{3}{74}\times 8\\-\frac{1}{74}\times 14+\frac{11}{74}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

讓 11x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 11。

$$11x+3y=14,11x+11\times 7y=11\times 8$$

化簡。

$$11x+3y=14,11x+77y=88$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 11x+3y=14 減去 11x+77y=88。

$$11x-11x+3y-77y=14-88$$

將 11x 加到 -11x。 11x 和 -11x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-77y=14-88$$

將 3y 加到 -77y。

$$-74y=14-88$$

將 14 加到 -88。

$$-74y=-74$$

將兩邊同時除以 -74。

$$y=1$$

在 x+7y=8 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+7=8$$

從方程式兩邊減去 7。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$