解決{l}{1=2r-3s}{4=3r+2s} |Microsoft數學求解器

解 r、s

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2r-3s=1

考慮第一個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

3r+2s=4

考慮第二個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

2r-3s=1,3r+2s=4

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2r-3s=1

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 r: 將 r 單獨置於等號的左邊。

2r=3s+1

將 3s 加到方程式的兩邊。

r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)

將兩邊同時除以 2。

r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}

\frac{1}{2} 乘上 3s+1。

3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4

在另一個方程式 3r+2s=4 中以 \frac{3s+1}{2} 代入 r在方程式。

\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4

3 乘上 \frac{3s+1}{2}。

\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4

將 \frac{9s}{2} 加到 2s。

\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

s=\frac{5}{13}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}

在 r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} 中以 \frac{5}{13} 代入 s。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 r。

r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}

\frac{3}{2} 乘上 \frac{5}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

r=\frac{14}{13}

將 \frac{1}{2} 與 \frac{15}{26} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}

現已成功解出系統。

2r-3s=1

考慮第一個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

3r+2s=4

考慮第二個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

2r-3s=1,3r+2s=4

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)

計算。

r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}

解出矩陣元素 r 和 s。

2r-3s=1

考慮第一個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

3r+2s=4

考慮第二個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

2r-3s=1,3r+2s=4

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4