解決{l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$0.2x+0.1y=-180$$

從方程式兩邊減去 \frac{y}{10}。

$$0.2x=-0.1y-180$$

將兩邊同時乘上 5。

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

5 乘上 -\frac{y}{10}-180。

$$x=-0.5y-900$$

在另一個方程式 -0.7x-0.2y=480 中以 -\frac{y}{2}-900 代入 x在方程式。

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

-0.7 乘上 -\frac{y}{2}-900。

$$0.35y+630-0.2y=480$$

將 \frac{7y}{20} 加到 -\frac{y}{5}。

$$0.15y+630=480$$

從方程式兩邊減去 630。

$$0.15y=-150$$

對方程式的兩邊同時除以 0.15，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1000$$

在 x=-0.5y-900 中以 -1000 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

-0.5 乘上 -1000。

$$x=500-900$$

將 -900 加到 500。

$$x=-400$$

現已成功解出系統。

$$x=-400,y=-1000$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-400,y=-1000$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

讓 \frac{x}{5} 和 -\frac{7x}{10} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -0.7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.2。

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

化簡。

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -0.14x-0.07y=126 減去 -0.14x-0.04y=96。

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

將 -\frac{7x}{50} 加到 \frac{7x}{50}。 -\frac{7x}{50} 和 \frac{7x}{50} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

將 -\frac{7y}{100} 加到 \frac{y}{25}。

$$-0.03y=126-96$$

將 126 加到 -96。

$$-0.03y=30$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.03，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1000$$

在 -0.7x-0.2y=480 中以 -1000 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

-0.2 乘上 -1000。

$$-0.7x+200=480$$

從方程式兩邊減去 200。

$$-0.7x=280$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.7，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-400$$

現已成功解出系統。

$$x=-400,y=-1000$$