解決{l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=100$$

$$y=50$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$0.04x+0.02y=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{y}{50}。

$$0.04x=-0.02y+5$$

將兩邊同時乘上 25。

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

25 乘上 -\frac{y}{50}+5。

$$x=-0.5y+125$$

在另一個方程式 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29 中以 -\frac{y}{2}+125 代入 x在方程式。

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

將 125 加到 -2。

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

0.5 乘上 -\frac{y}{2}+123。

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

將 -\frac{y}{4} 加到 -\frac{2y}{5}。

$$-0.65y+61.5=29$$

從方程式兩邊減去 61.5。

$$-0.65y=-32.5$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.65，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=50$$

在 x=-0.5y+125 中以 50 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-0.5\times 50+125$$

-0.5 乘上 50。

$$x=-25+125$$

將 125 加到 -25。

$$x=100$$

現已成功解出系統。

$$x=100,y=50$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

化簡第二個方程式，使其成為標準式。

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

0.5 乘上 x-2。

$$0.5x-1-0.4y=29$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$0.5x-0.4y=30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=100,y=50$$