解決{l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-9x+6y=13$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$-9x=-6y+13$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-\frac{1}{9} 乘上 -6y+13。

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

在另一個方程式 cx+8y=-12 中以 \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} 代入 x在方程式。

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

c 乘上 \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}。

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

將 \frac{2cy}{3} 加到 8y。

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

將 \frac{13c}{9} 加到方程式的兩邊。

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

將兩邊同時除以 \frac{2c}{3}+8。

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

在 x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9} 中以 \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{2}{3} 乘上 \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}。

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

將 -\frac{13}{9} 加到 \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}。

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

讓 -9x 和 cx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 c，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9。

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

化簡。

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-9c\right)x+6cy=13c 減去 \left(-9c\right)x-72y=108。

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

將 -9cx 加到 9cx。 -9cx 和 9cx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6cy+72y=13c-108$$

將 6cy 加到 72y。

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

將兩邊同時除以 72+6c。

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

在 cx+8y=-12 中以 \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

8 乘上 \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}。

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

從方程式兩邊減去 \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}。

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

將兩邊同時除以 c。

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$