解決{l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-10$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x-9y=-10$$

將 9y 加到方程式的兩邊。

$$-8x=9y-10$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 9y-10。

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 -4x-3y=10 中以 -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} 代入 x在方程式。

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

-4 乘上 -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}。

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

將 \frac{9y}{2} 加到 -3y。

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$\frac{3}{2}y=15$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=10$$

在 x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4} 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

-\frac{9}{8} 乘上 10。

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{45}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-10$$

現已成功解出系統。

$$x=-10,y=10$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-10,y=10$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

讓 -8x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

化簡。

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x+36y=40 減去 32x+24y=-80。

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y-24y=40+80$$

將 36y 加到 -24y。

$$12y=40+80$$

將 40 加到 80。

$$12y=120$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=10$$

在 -4x-3y=10 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x-3\times 10=10$$

-3 乘上 10。

$$-4x-30=10$$

將 30 加到方程式的兩邊。

$$-4x=40$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-10$$

現已成功解出系統。

$$x=-10,y=10$$