解決{l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x+4y=12$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-8x=-4y+12$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 -4y+12。

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 8x-3y=-3 中以 \frac{-3+y}{2} 代入 x在方程式。

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

8 乘上 \frac{-3+y}{2}。

$$4y-12-3y=-3$$

將 4y 加到 -3y。

$$y-12=-3$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$y=9$$

在 x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 9。

$$x=\frac{9-3}{2}$$

將 -\frac{3}{2} 與 \frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

讓 -8x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

化簡。

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -64x+32y=96 減去 -64x+24y=24。

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

將 -64x 加到 64x。 -64x 和 64x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$32y-24y=96-24$$

將 32y 加到 -24y。

$$8y=96-24$$

將 96 加到 -24。

$$8y=72$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=9$$

在 8x-3y=-3 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x-3\times 9=-3$$

-3 乘上 9。

$$8x-27=-3$$

將 27 加到方程式的兩邊。

$$8x=24$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=9$$