解決{l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=4$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$-5y+8x=-18$$

從方程式兩邊減去 8x。

$$-5y=-8x-18$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -8x-18。

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

在另一個方程式 5y+2x=58 中以 \frac{8x+18}{5} 代入 y在方程式。

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5 乘上 \frac{8x+18}{5}。

$$8x+18+2x=58$$

將 8x 加到 2x。

$$10x+18=58$$

從方程式兩邊減去 18。

$$10x=40$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=4$$

在 y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

\frac{8}{5} 乘上 4。

$$y=\frac{32+18}{5}$$

將 \frac{18}{5} 與 \frac{32}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=10$$

現已成功解出系統。

$$y=10,x=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=10,x=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

讓 -5y 和 5y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

化簡。

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -25y+40x=-90 減去 -25y-10x=-290。

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

將 -25y 加到 25y。 -25y 和 25y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$40x+10x=-90+290$$

將 40x 加到 10x。

$$50x=-90+290$$

將 -90 加到 290。

$$50x=200$$

將兩邊同時除以 50。

$$x=4$$

在 5y+2x=58 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$5y+2\times 4=58$$

2 乘上 4。

$$5y+8=58$$

從方程式兩邊減去 8。

$$5y=50$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=10$$

現已成功解出系統。

$$y=10,x=4$$