解決{l}{-5x+y=-3}{3x-8y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 3 } \\ { 3 x - 8 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+y=-3$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-5x=-y-3$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-3\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -y-3。

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

在另一個方程式 3x-8y=24 中以 \frac{3+y}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)-8y=24$$

3 乘上 \frac{3+y}{5}。

$$\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}-8y=24$$

將 \frac{3y}{5} 加到 -8y。

$$-\frac{37}{5}y+\frac{9}{5}=24$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{5}。

$$-\frac{37}{5}y=\frac{111}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{37}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}$$

\frac{1}{5} 乘上 -3。

$$x=\frac{-3+3}{5}$$

將 \frac{3}{5} 與 -\frac{3}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{1}{-5\left(-8\right)-3}\\-\frac{3}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}&-\frac{1}{37}\\-\frac{3}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}\left(-3\right)-\frac{1}{37}\times 24\\-\frac{3}{37}\left(-3\right)-\frac{5}{37}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

讓 -5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$3\left(-5\right)x+3y=3\left(-3\right),-5\times 3x-5\left(-8\right)y=-5\times 24$$

化簡。

$$-15x+3y=-9,-15x+40y=-120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -15x+3y=-9 減去 -15x+40y=-120。

$$-15x+15x+3y-40y=-9+120$$

將 -15x 加到 15x。 -15x 和 15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-40y=-9+120$$

將 3y 加到 -40y。

$$-37y=-9+120$$

將 -9 加到 120。

$$-37y=111$$

將兩邊同時除以 -37。

$$y=-3$$

在 3x-8y=24 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-8\left(-3\right)=24$$

-8 乘上 -3。

$$3x+24=24$$

從方程式兩邊減去 24。

$$3x=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$