解決{l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=7$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$-3y+4x=13$$

從方程式兩邊減去 4x。

$$-3y=-4x+13$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -4x+13。

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

在另一個方程式 -5y-6x=-67 中以 \frac{4x-13}{3} 代入 y在方程式。

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

-5 乘上 \frac{4x-13}{3}。

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

將 -\frac{20x}{3} 加到 -6x。

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

從方程式兩邊減去 \frac{65}{3}。

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{38}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=7$$

在 y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3} 中以 7 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

\frac{4}{3} 乘上 7。

$$y=\frac{28-13}{3}$$

將 -\frac{13}{3} 與 \frac{28}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=5,x=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

讓 -3y 和 -5y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

化簡。

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15y-20x=-65 減去 15y+18x=201。

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

將 15y 加到 -15y。 15y 和 -15y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-20x-18x=-65-201$$

將 -20x 加到 -18x。

$$-38x=-65-201$$

將 -65 加到 -201。

$$-38x=-266$$

將兩邊同時除以 -38。

$$x=7$$

在 -5y-6x=-67 中以 7 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-5y-6\times 7=-67$$

-6 乘上 7。

$$-5y-42=-67$$

將 42 加到方程式的兩邊。

$$-5y=-25$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=7$$