解決{l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x-5y=17$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$-3x=5y+17$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 5y+17。

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

在另一個方程式 -5x+6y=14 中以 \frac{-5y-17}{3} 代入 x在方程式。

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

-5 乘上 \frac{-5y-17}{3}。

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

將 \frac{25y}{3} 加到 6y。

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

從方程式兩邊減去 \frac{85}{3}。

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{43}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 -1。

$$x=\frac{5-17}{3}$$

將 -\frac{17}{3} 與 \frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

讓 -3x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

化簡。

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+25y=-85 減去 15x-18y=-42。

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y+18y=-85+42$$

將 25y 加到 18y。

$$43y=-85+42$$

將 -85 加到 42。

$$43y=-43$$

將兩邊同時除以 43。

$$y=-1$$

在 -5x+6y=14 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

6 乘上 -1。

$$-5x-6=14$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$-5x=20$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-1$$