解決{l}{-3x+y=10}{-2x+4y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 10 } \\ { - 2 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+y=10$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-3x=-y+10$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -y+10。

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 -2x+4y=0 中以 \frac{-10+y}{3} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}\right)+4y=0$$

-2 乘上 \frac{-10+y}{3}。

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=0$$

將 -\frac{2y}{3} 加到 4y。

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{20}{3}。

$$\frac{10}{3}y=-\frac{20}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{10}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 -2。

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

將 -\frac{10}{3} 與 -\frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-3\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

讓 -3x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-2\left(-3\right)x-2y=-2\times 10,-3\left(-2\right)x-3\times 4y=0$$

化簡。

$$6x-2y=-20,6x-12y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-2y=-20 減去 6x-12y=0。

$$6x-6x-2y+12y=-20$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+12y=-20$$

將 -2y 加到 12y。

$$10y=-20$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-2$$

在 -2x+4y=0 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+4\left(-2\right)=0$$

4 乘上 -2。

$$-2x-8=0$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-2x=8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-2$$