解決{l}{-3x+y=1}{-3x+2y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 1 } \\ { - 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+y=1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-3x=-y+1$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -y+1。

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 -3x+2y=5 中以 \frac{-1+y}{3} 代入 x在方程式。

$$-3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=5$$

-3 乘上 \frac{-1+y}{3}。

$$-y+1+2y=5$$

將 -y 加到 2y。

$$y+1=5$$

從方程式兩邊減去 1。

$$y=4$$

在 x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 4。

$$x=\frac{4-1}{3}$$

將 -\frac{1}{3} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+y=1 減去 -3x+2y=5。

$$-3x+3x+y-2y=1-5$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-2y=1-5$$

將 y 加到 -2y。

$$-y=1-5$$

將 1 加到 -5。

$$-y=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=4$$

在 -3x+2y=5 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+2\times 4=5$$

2 乘上 4。

$$-3x+8=5$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-3x=-3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$