解決{l}{-2x+4y=-4}{x-3y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = - 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-6$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+4y=-4$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-2x=-4y-4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -4y-4。

$$x=2y+2$$

在另一個方程式 x-3y=6 中以 2+2y 代入 x在方程式。

$$2y+2-3y=6$$

將 2y 加到 -3y。

$$-y+2=6$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-y=4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-4$$

在 x=2y+2 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\left(-4\right)+2$$

2 乘上 -4。

$$x=-8+2$$

將 2 加到 -8。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-4\right)-2\times 6\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-6,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

讓 -2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-2x+4y=-4,-2x-2\left(-3\right)y=-2\times 6$$

化簡。

$$-2x+4y=-4,-2x+6y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+4y=-4 減去 -2x+6y=-12。

$$-2x+2x+4y-6y=-4+12$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-6y=-4+12$$

將 4y 加到 -6y。

$$-2y=-4+12$$

將 -4 加到 12。

$$-2y=8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-4$$

在 x-3y=6 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\left(-4\right)=6$$

-3 乘上 -4。

$$x+12=6$$

從方程式兩邊減去 12。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=-4$$