解決{l}{-2x+15y=-24}{2x+9y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 15 y = - 24 } \\ { 2 x + 9 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=12$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+15y=-24$$

從方程式兩邊減去 15y。

$$-2x=-15y-24$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15y-24\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -15y-24。

$$x=\frac{15}{2}y+12$$

在另一個方程式 2x+9y=24 中以 \frac{15y}{2}+12 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{15}{2}y+12\right)+9y=24$$

2 乘上 \frac{15y}{2}+12。

$$15y+24+9y=24$$

將 15y 加到 9y。

$$24y+24=24$$

從方程式兩邊減去 24。

$$24y=0$$

將兩邊同時除以 24。

$$y=0$$

在 x=\frac{15}{2}y+12 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{15}{-2\times 9-15\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{24}&\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-24\right)+\frac{5}{16}\times 24\\\frac{1}{24}\left(-24\right)+\frac{1}{24}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=12,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

讓 -2x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$2\left(-2\right)x+2\times 15y=2\left(-24\right),-2\times 2x-2\times 9y=-2\times 24$$

化簡。

$$-4x+30y=-48,-4x-18y=-48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+30y=-48 減去 -4x-18y=-48。

$$-4x+4x+30y+18y=-48+48$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y+18y=-48+48$$

將 30y 加到 18y。

$$48y=-48+48$$

將 -48 加到 48。

$$48y=0$$

將兩邊同時除以 48。

$$y=0$$

在 2x+9y=24 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x=24$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=0$$