解決{l}{-10x-y=13}{8x+3y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - y = 13 } \\ { 8 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x-y=13,8x+3y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x-y=13$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$-10x=y+13$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(y+13\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 y+13。

$$x=-\frac{1}{10}y-\frac{13}{10}$$

在另一個方程式 8x+3y=5 中以 \frac{-y-13}{10} 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{1}{10}y-\frac{13}{10}\right)+3y=5$$

8 乘上 \frac{-y-13}{10}。

$$-\frac{4}{5}y-\frac{52}{5}+3y=5$$

將 -\frac{4y}{5} 加到 3y。

$$\frac{11}{5}y-\frac{52}{5}=5$$

將 \frac{52}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{11}{5}y=\frac{77}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=7$$

在 x=-\frac{1}{10}y-\frac{13}{10} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{10}\times 7-\frac{13}{10}$$

-\frac{1}{10} 乘上 7。

$$x=\frac{-7-13}{10}$$

將 -\frac{13}{10} 與 -\frac{7}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x-y=13,8x+3y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-10\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{-1}{-10\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{8}{-10\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{10}{-10\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22}&-\frac{1}{22}\\\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22}\times 13-\frac{1}{22}\times 5\\\frac{4}{11}\times 13+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x-y=13,8x+3y=5$$

讓 -10x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$8\left(-10\right)x+8\left(-1\right)y=8\times 13,-10\times 8x-10\times 3y=-10\times 5$$

化簡。

$$-80x-8y=104,-80x-30y=-50$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -80x-8y=104 減去 -80x-30y=-50。

$$-80x+80x-8y+30y=104+50$$

將 -80x 加到 80x。 -80x 和 80x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y+30y=104+50$$

將 -8y 加到 30y。

$$22y=104+50$$

將 104 加到 50。

$$22y=154$$

將兩邊同時除以 22。

$$y=7$$

在 8x+3y=5 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x+3\times 7=5$$

3 乘上 7。

$$8x+21=5$$

從方程式兩邊減去 21。

$$8x=-16$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=7$$