解決{l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x-6y=12$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$-10x=6y+12$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 12+6y。

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

在另一個方程式 4x+7y=-14 中以 \frac{-3y-6}{5} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

4 乘上 \frac{-3y-6}{5}。

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

將 -\frac{12y}{5} 加到 7y。

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

將 \frac{24}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{23}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

-\frac{3}{5} 乘上 -2。

$$x=\frac{6-6}{5}$$

將 -\frac{6}{5} 與 \frac{6}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

讓 -10x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

化簡。

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -40x-24y=48 減去 -40x-70y=140。

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

將 -40x 加到 40x。 -40x 和 40x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-24y+70y=48-140$$

將 -24y 加到 70y。

$$46y=48-140$$

將 48 加到 -140。

$$46y=-92$$

將兩邊同時除以 46。

$$y=-2$$

在 4x+7y=-14 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

7 乘上 -2。

$$4x-14=-14$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$4x=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-2$$