解決{l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 m_{1} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

從兩邊減去 m_{1}x。

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

考慮第二個方程式。 計算 m_{2} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

從兩邊減去 m_{2}x。

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

將 m_{1}x 加到方程式的兩邊。

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

在另一個方程式 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b 中以 m_{1}x+am_{1}-b 代入 y在方程式。

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

將 m_{1}x 加到 -m_{2}x。

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

從方程式兩邊減去 am_{1}-b。

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

將兩邊同時除以 m_{1}-m_{2}。

$$x=-a$$

在 y=m_{1}x+am_{1}-b 中以 -a 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1} 乘上 -a。

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

將 am_{1}-b 加到 -m_{1}a。

$$y=-b$$

現已成功解出系統。

$$y=-b,x=-a$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 m_{1} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

從兩邊減去 m_{1}x。

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

考慮第二個方程式。 計算 m_{2} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

從兩邊減去 m_{2}x。

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-b,x=-a$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 m_{1} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

從兩邊減去 m_{1}x。

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

考慮第二個方程式。 計算 m_{2} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

從兩邊減去 m_{2}x。

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b 減去 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b。

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

將 -m_{1}x 加到 m_{2}x。

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

將 am_{1}-b 加到 -m_{2}a+b。

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

將兩邊同時除以 -m_{1}+m_{2}。

$$x=-a$$

在 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b 中以 -a 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2} 乘上 -a。

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

從方程式兩邊減去 m_{2}a。

$$y=-b$$

現已成功解出系統。

$$y=-b,x=-a$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 m_{1} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

從兩邊減去 m_{1}x。

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

考慮第二個方程式。 計算 m_{2} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

從兩邊減去 m_{2}x。

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

將 m_{1}x 加到方程式的兩邊。

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

在另一個方程式 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b 中以 m_{1}x+am_{1}-b 代入 y在方程式。

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

將 m_{1}x 加到 -m_{2}x。

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

從方程式兩邊減去 am_{1}-b。

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

將兩邊同時除以 m_{1}-m_{2}。

$$x=-a$$

在 y=m_{1}x+am_{1}-b 中以 -a 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1} 乘上 -a。

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

將 am_{1}-b 加到 -m_{1}a。

$$y=-b$$

現已成功解出系統。

$$y=-b,x=-a$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 m_{1} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

從兩邊減去 m_{1}x。

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

考慮第二個方程式。 計算 m_{2} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

從兩邊減去 m_{2}x。

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-b,x=-a$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 m_{1} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

從兩邊減去 m_{1}x。

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

考慮第二個方程式。 計算 m_{2} 乘上 x+a 時使用乘法分配律。

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

從兩邊減去 m_{2}x。

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

從兩邊減去 b。

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b 減去 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b。

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

將 -m_{1}x 加到 m_{2}x。

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

將 am_{1}-b 加到 -m_{2}a+b。

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

將兩邊同時除以 -m_{1}+m_{2}。

$$x=-a$$

在 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b 中以 -a 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2} 乘上 -a。

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

從方程式兩邊減去 m_{2}a。

$$y=-b$$

現已成功解出系統。

$$y=-b,x=-a$$