解決{l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=13$$

$$y=11$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2 的最小公倍數。

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

計算 2 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

計算 5 乘上 y-7 時使用乘法分配律。

$$2x-6=5y-35$$

從兩邊減去 5y。

$$2x-6-5y=-35$$

新增 6 至兩側。

$$2x-5y=-35+6$$

將 -35 與 6 相加可以得到 -29。

$$2x-5y=-29$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 13y。

$$11x-13y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-5y=-29$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$2x=5y-29$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 5y-29。

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

在另一個方程式 11x-13y=0 中以 \frac{5y-29}{2} 代入 x在方程式。

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

11 乘上 \frac{5y-29}{2}。

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

將 \frac{55y}{2} 加到 -13y。

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

將 \frac{319}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=11$$

在 x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2} 中以 11 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

\frac{5}{2} 乘上 11。

$$x=\frac{55-29}{2}$$

將 -\frac{29}{2} 與 \frac{55}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=13$$

現已成功解出系統。

$$x=13,y=11$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2 的最小公倍數。

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

計算 2 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

計算 5 乘上 y-7 時使用乘法分配律。

$$2x-6=5y-35$$

從兩邊減去 5y。

$$2x-6-5y=-35$$

新增 6 至兩側。

$$2x-5y=-35+6$$

將 -35 與 6 相加可以得到 -29。

$$2x-5y=-29$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 13y。

$$11x-13y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=13,y=11$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2 的最小公倍數。

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

計算 2 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

計算 5 乘上 y-7 時使用乘法分配律。

$$2x-6=5y-35$$

從兩邊減去 5y。

$$2x-6-5y=-35$$

新增 6 至兩側。

$$2x-5y=-35+6$$

將 -35 與 6 相加可以得到 -29。

$$2x-5y=-29$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 13y。

$$11x-13y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

讓 2x 和 11x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 11，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

化簡。

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 22x-55y=-319 減去 22x-26y=0。

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

將 22x 加到 -22x。 22x 和 -22x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-55y+26y=-319$$

將 -55y 加到 26y。

$$-29y=-319$$

將兩邊同時除以 -29。

$$y=11$$

在 11x-13y=0 中以 11 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$11x-13\times 11=0$$

-13 乘上 11。

$$11x-143=0$$

將 143 加到方程式的兩邊。

$$11x=143$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=13$$

現已成功解出系統。

$$x=13,y=11$$