解決{l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

將兩邊同時乘上 8。

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

8 乘上 y-\frac{5}{2}。

$$x=8y-20$$

在另一個方程式 3x+\frac{1}{3}y=13 中以 8y-20 代入 x在方程式。

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

3 乘上 8y-20。

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

將 24y 加到 \frac{y}{3}。

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$\frac{73}{3}y=73$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{73}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=8y-20 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=8\times 3-20$$

8 乘上 3。

$$x=24-20$$

將 -20 加到 24。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

讓 \frac{x}{8} 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{8}。

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

化簡。

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2} 減去 \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}。

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

將 \frac{3x}{8} 加到 -\frac{3x}{8}。 \frac{3x}{8} 和 -\frac{3x}{8} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

將 -3y 加到 -\frac{y}{24}。

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

將 -\frac{15}{2} 與 -\frac{13}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{73}{24}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 3x+\frac{1}{3}y=13 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

\frac{1}{3} 乘上 3。

$$3x+1=13$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3x=12$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=3$$