解決{l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=-10$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,10 的最小公倍數。

$$2x-20=y$$

從兩邊減去 y。

$$2x-20-y=0$$

新增 20 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2x-y=20$$

考慮第二個方程式。 新增 7y 至兩側。

$$5x+45+7y=0$$

從兩邊減去 45。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x+7y=-45$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=20$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+20$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+20。

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

在另一個方程式 5x+7y=-45 中以 \frac{y}{2}+10 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

5 乘上 \frac{y}{2}+10。

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

將 \frac{5y}{2} 加到 7y。

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

從方程式兩邊減去 50。

$$\frac{19}{2}y=-95$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-10$$

在 x=\frac{1}{2}y+10 中以 -10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

\frac{1}{2} 乘上 -10。

$$x=-5+10$$

將 10 加到 -5。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-10$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,10 的最小公倍數。

$$2x-20=y$$

從兩邊減去 y。

$$2x-20-y=0$$

新增 20 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2x-y=20$$

考慮第二個方程式。 新增 7y 至兩側。

$$5x+45+7y=0$$

從兩邊減去 45。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x+7y=-45$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=-10$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,10 的最小公倍數。

$$2x-20=y$$

從兩邊減去 y。

$$2x-20-y=0$$

新增 20 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2x-y=20$$

考慮第二個方程式。 新增 7y 至兩側。

$$5x+45+7y=0$$

從兩邊減去 45。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x+7y=-45$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

化簡。

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x-5y=100 減去 10x+14y=-90。

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y-14y=100+90$$

將 -5y 加到 -14y。

$$-19y=100+90$$

將 100 加到 90。

$$-19y=190$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=-10$$

在 5x+7y=-45 中以 -10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

7 乘上 -10。

$$5x-70=-45$$

將 70 加到方程式的兩邊。

$$5x=25$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-10$$