解 x、y
x=8
y=2
圖表
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\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2}
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{3}{4}x=-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{y}{4}。
x=\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}\right)
對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}
\frac{4}{3} 乘上 -\frac{y}{4}+\frac{13}{2}。
-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}
在另一個方程式 x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2} 中以 \frac{-y+26}{3} 代入 x在方程式。
-\frac{13}{12}y+\frac{26}{3}=\frac{13}{2}
將 -\frac{y}{3} 加到 -\frac{3y}{4}。
-\frac{13}{12}y=-\frac{13}{6}
從方程式兩邊減去 \frac{26}{3}。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{12}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{26}{3}
在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-2+26}{3}
-\frac{1}{3} 乘上 2。
x=8
將 \frac{26}{3} 與 -\frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=8,y=2
現已成功解出系統。
\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\\-\frac{1}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{16}{13}&-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}+\frac{4}{13}\times \frac{13}{2}\\\frac{16}{13}\times \frac{13}{2}-\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=8,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)y=\frac{3}{4}\times \frac{13}{2}
讓 \frac{3x}{4} 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{3}{4}。
\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8}
化簡。
\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2} 減去 \frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8}。
\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}
將 \frac{3x}{4} 加到 -\frac{3x}{4}。 \frac{3x}{4} 和 -\frac{3x}{4} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{13}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}
將 \frac{y}{4} 加到 \frac{9y}{16}。
\frac{13}{16}y=\frac{13}{8}
將 \frac{13}{2} 與 -\frac{39}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{16}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x-\frac{3}{4}\times 2=\frac{13}{2}
在 x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}
-\frac{3}{4} 乘上 2。
x=8
將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。
x=8,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}