解決{l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

計算 4 乘上 2x-y+3 時使用乘法分配律。

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

計算 -3 乘上 x-2y+3 時使用乘法分配律。

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

合併 8x 和 -3x 以取得 5x。

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

合併 -4y 和 6y 以取得 2y。

$$5x+2y+12-9=48$$

從 12 減去 9 會得到 3。

$$5x+2y+3=48$$

從兩邊減去 3。

$$5x+2y=48-3$$

從 48 減去 3 會得到 45。

$$5x+2y=45$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,3 的最小公倍數。

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

計算 3 乘上 3x-4y+3 時使用乘法分配律。

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

計算 4 乘上 4x-2y-9 時使用乘法分配律。

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

合併 9x 和 16x 以取得 25x。

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

合併 -12y 和 -8y 以取得 -20y。

$$25x-20y+9-36=48$$

從 9 減去 36 會得到 -27。

$$25x-20y-27=48$$

新增 27 至兩側。

$$25x-20y=48+27$$

將 48 與 27 相加可以得到 75。

$$25x-20y=75$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=45$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y+45$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y+45。

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

在另一個方程式 25x-20y=75 中以 -\frac{2y}{5}+9 代入 x在方程式。

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

25 乘上 -\frac{2y}{5}+9。

$$-10y+225-20y=75$$

將 -10y 加到 -20y。

$$-30y+225=75$$

從方程式兩邊減去 225。

$$-30y=-150$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=5$$

在 x=-\frac{2}{5}y+9 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

-\frac{2}{5} 乘上 5。

$$x=-2+9$$

將 9 加到 -2。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=5$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

計算 4 乘上 2x-y+3 時使用乘法分配律。

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

計算 -3 乘上 x-2y+3 時使用乘法分配律。

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

合併 8x 和 -3x 以取得 5x。

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

合併 -4y 和 6y 以取得 2y。

$$5x+2y+12-9=48$$

從 12 減去 9 會得到 3。

$$5x+2y+3=48$$

從兩邊減去 3。

$$5x+2y=48-3$$

從 48 減去 3 會得到 45。

$$5x+2y=45$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,3 的最小公倍數。

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

計算 3 乘上 3x-4y+3 時使用乘法分配律。

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

計算 4 乘上 4x-2y-9 時使用乘法分配律。

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

合併 9x 和 16x 以取得 25x。

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

合併 -12y 和 -8y 以取得 -20y。

$$25x-20y+9-36=48$$

從 9 減去 36 會得到 -27。

$$25x-20y-27=48$$

新增 27 至兩側。

$$25x-20y=48+27$$

將 48 與 27 相加可以得到 75。

$$25x-20y=75$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=5$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

計算 4 乘上 2x-y+3 時使用乘法分配律。

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

計算 -3 乘上 x-2y+3 時使用乘法分配律。

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

合併 8x 和 -3x 以取得 5x。

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

合併 -4y 和 6y 以取得 2y。

$$5x+2y+12-9=48$$

從 12 減去 9 會得到 3。

$$5x+2y+3=48$$

從兩邊減去 3。

$$5x+2y=48-3$$

從 48 減去 3 會得到 45。

$$5x+2y=45$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,3 的最小公倍數。

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

計算 3 乘上 3x-4y+3 時使用乘法分配律。

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

計算 4 乘上 4x-2y-9 時使用乘法分配律。

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

合併 9x 和 16x 以取得 25x。

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

合併 -12y 和 -8y 以取得 -20y。

$$25x-20y+9-36=48$$

從 9 減去 36 會得到 -27。

$$25x-20y-27=48$$

新增 27 至兩側。

$$25x-20y=48+27$$

將 48 與 27 相加可以得到 75。

$$25x-20y=75$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

讓 5x 和 25x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 25，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

化簡。

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 125x+50y=1125 減去 125x-100y=375。

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

將 125x 加到 -125x。 125x 和 -125x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$50y+100y=1125-375$$

將 50y 加到 100y。

$$150y=1125-375$$

將 1125 加到 -375。

$$150y=750$$

將兩邊同時除以 150。

$$y=5$$

在 25x-20y=75 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$25x-20\times 5=75$$

-20 乘上 5。

$$25x-100=75$$

將 100 加到方程式的兩邊。

$$25x=175$$

將兩邊同時除以 25。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=5$$