解決{c}{8x+4y=10}{4x+9y=30} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 4 y = 10 } \\ { 4 x + 9 y = 30 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{15}{28}\approx -0.535714286$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+4y=10$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$8x=-4y+10$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+10\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -4y+10。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 4x+9y=30 中以 -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+9y=30$$

4 乘上 -\frac{y}{2}+\frac{5}{4}。

$$-2y+5+9y=30$$

將 -2y 加到 9y。

$$7y+5=30$$

從方程式兩邊減去 5。

$$7y=25$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=\frac{25}{7}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} 中以 \frac{25}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{7}+\frac{5}{4}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{25}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{25}{14}+\frac{5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{25}{14} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{15}{28}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}&\frac{8}{8\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}\times 10-\frac{1}{14}\times 30\\-\frac{1}{14}\times 10+\frac{1}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{28}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

讓 8x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$4\times 8x+4\times 4y=4\times 10,8\times 4x+8\times 9y=8\times 30$$

化簡。

$$32x+16y=40,32x+72y=240$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x+16y=40 減去 32x+72y=240。

$$32x-32x+16y-72y=40-240$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y-72y=40-240$$

將 16y 加到 -72y。

$$-56y=40-240$$

將 40 加到 -240。

$$-56y=-200$$

將兩邊同時除以 -56。

$$y=\frac{25}{7}$$

在 4x+9y=30 中以 \frac{25}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+9\times \frac{25}{7}=30$$

9 乘上 \frac{25}{7}。

$$4x+\frac{225}{7}=30$$

從方程式兩邊減去 \frac{225}{7}。

$$4x=-\frac{15}{7}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-\frac{15}{28}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$