解決{c}{3x+4y=10}{x=2y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 10 } \\ { x = 2 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-2y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=10$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y+10$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+10\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y+10。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 x-2y=0 中以 \frac{-4y+10}{3} 代入 x在方程式。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-2y=0$$

將 -\frac{4y}{3} 加到 -2y。

$$-\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{3}。

$$-\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

將 \frac{10}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-2y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=1$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-2y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x+4y=10,3x+3\left(-2\right)y=0$$

化簡。

$$3x+4y=10,3x-6y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+4y=10 減去 3x-6y=0。

$$3x-3x+4y+6y=10$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+6y=10$$

將 4y 加到 6y。

$$10y=10$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=1$$

在 x-2y=0 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2=0$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$