解決{c}{2x+y=5}{-4x+6y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 -4x+6y=12 中以 \frac{-y+5}{2} 代入 x在方程式。

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

-4 乘上 \frac{-y+5}{2}。

$$2y-10+6y=12$$

將 2y 加到 6y。

$$8y-10=12$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$8y=22$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=\frac{11}{4}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} 中以 \frac{11}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{11}{4} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 -\frac{11}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{9}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

讓 2x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

化簡。

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x-4y=-20 減去 -8x+12y=24。

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-12y=-20-24$$

將 -4y 加到 -12y。

$$-16y=-20-24$$

將 -20 加到 -24。

$$-16y=-44$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=\frac{11}{4}$$

在 -4x+6y=12 中以 \frac{11}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

6 乘上 \frac{11}{4}。

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{33}{2}。

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=\frac{9}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$